中考复习专项训练——圆（3）
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【试题】如图，⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
【图文解析】
（1）标注上已知条件，根据试题中给出的条件，不难得到：（如下图示）
由∠1＝∠3＝900－∠C，∠2＝900－∠4.（其中∠2+∠4＝900是根据切线的性质得到的），又由OC＝OD可得∠C＝∠4，从而得到∠1＝∠2.
（2）由“已知OF：OB＝1：3和⊙O的半径为3”可得：OF＝1，FB＝2.由∠1＝∠2得：DE＝DF＝n（设为n），再将相关结论标注上，如下图示：
在直角△ODE中，由勾股定理，得：32＋n2＝(n+1)2，解得n=4.
在Rt△AEG中，设AG＝DG＝m，如下图示，由勾股定理，进一步，可得：
(3+1+4)2+m2=(m+4)2，
解得：m=6.所以AG＝6.
显然，本题也用三角函数的定义或相似可较快得到相应的答案.
【试题】考查切线的性质及直角三角形中的相关计算（勾股、相似、三角形函数等），熟练掌握相关知识，快速找到所需的直角三角形是解题的关键，其中通过设元（方程思想）减少解题难度，提高效率，更是重中之重.
【拓展变式】如图，⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD的延长线与OB的延长线交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知OF：OB=3：1，⊙O的半径为3，求AG的长．
答案：AG＝8.
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